Preview

Машиностроение и компьютерные технологии

Расширенный поиск

Диффузионные процессы в курсах теории вероятностей и уравнений математической физики

Полный текст:

Аннотация

В работе обобщается опыт параллельного изучения явления диффузии в курсах случайных процессов и уравнений математической физики. Излагаемые в этих курсах подходы и результаты анализируются с позиций другой дисциплины, устанавливаются связи между физическими и математическими характеристиками диффузионных процессов.

Показано, что в предположении существования второго момента условная плотность диффузионного процесса, рассматриваемая как функция параметров конечного состояния, удовлетворяют физическому уравнению диффузии. Его решение с естественными граничными условиями, продиктованными вероятностным характером задачи, приводит к фундаментальному решению оператора диффузии. Таким образом, условная плотность может интерпретироваться как физическая концентрация диффундирующего вещества. Полученное решение описывает изменение концентрации во времени и пространстве.

При этом коэффициент диффузии, определяемый в теории случайных процессов как скорость изменения условного математического ожидания квадрата отклонения, оказывается четко связанным с его физическим определением - количество вещества в массовых единицах, протекающее в единицу времени через участок единичной площади.

В курсе уравнений математической физики фундаментальное решение оператора диффузии, как известно, имеет физический смысл   концентрации диффундирующего вещества при вбросе в начальный момент одной единицы этого вещества в некоторой точке пространства. Показано, что эта функция также допускает вероятностное истолкование как плотности нормального (гауссовского) закона, в котором дисперсия пропорциональна времени.

Также в работе рассмотрен стационарный режим диффузии, описываемый уравнением Лапласа. Фундаментальное решение оператора Лапласа представляет собой трехмерный   потенциал, также допускающий вероятностное истолкование. Показано, что с точностью до коэффициента диффузии значение потенциала в точке равно среднему времени пребывания (математическому ожиданию) частицы в малой области, окружающей эту точку, отнесенному к объему области.

Об авторе

Т. В. Облакова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

доцент кафедры ФН-11

SPIN 6920-1668



Список литературы

1. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. –М.: Меркурий-ПРЕСС, 2000. – 176с.

2. Облакова Т.В. Вероятностный смысл функции источника в уравнениях параболиче-ского и эллиптического типов. Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы. Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН. –М.: «Логос», 2005.-с.684-688.

3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-448с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVIII).

4. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференци-ального оператора и задача Коши. Методические указания к выполнению домашнего задания. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.-70с.

5. Мартинсон, Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физи-ки. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -368с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).


Для цитирования:


Облакова Т.В. Диффузионные процессы в курсах теории вероятностей и уравнений математической физики. Машиностроение и компьютерные технологии. 2018;(9):48-55.

For citation:


Oblakova T.V. Diffusion Processes in the Courses of Probability Theory and Equations of Mathematical Physics. Mechanical Engineering and Computer Science. 2018;(9):48-55. (In Russ.)

Просмотров: 29


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2587-9278 (Online)