Preview

Машиностроение и компьютерные технологии

Расширенный поиск

Общая схема вычисления рядов с положительными членами

https://doi.org/10.24108/0418.0001381

Полный текст:

Аннотация

Общая теория рядов имеет давнюю историю и берет свое начало со времени возникновения дифференциального и интегрального исчислений. Тремя основными вопросами в теории рядов являются: исследование сходимости, оценка остаточного члена и улучшение сходимости рядов [2,3,6]. Универсального решения перечисленных вопросов нет, поэтому поиск новых приемов решения указанных задач остается актуальной проблемой и на сегодняшний день. Более того, вопросы улучшения сходимости и оценками остаточных членов рядов имеют все возрастающую роль не только в задачах математической физики, но и инженерной практике [5].

Один из возможных подходов к решению указанных задач — использование метода сопряжения двух рядов, который позволяет установить некоторые общие признаки сходимости рядов с положительными членами, а также получить соответствующие оценки остаточных членов и предложить способы улучшения сходимости [6]. Соответствие между способом улучшения сходимости ряда и тем или иным признаком сходимости основано на одном преобразовании рядов, предложенных Куммером [1,6,9]. Это преобразование мало известно. Однако с помощью этого преобразования можно получить как частные случаи известные признаки сходимости рядов: признаки Даламбера, Коши, Раабе, Гаусса, интегральный признак Коши и др. [3,5]. Также можно получить новые практически полезные признаки [8,10]. Отметим, что в рамки этого преобразования по сути дела укладываются и сама схема Куммера, и признак Ермакова, и другие признаки, вытекающие из теории сопряжения рядов [4,8]. Для каждого признака сходимости, который можно получить из преобразования Куммера, удается установить и соответствующие оценки остаточного члена ряда. Если ряд сходится медленно или оценки остаточного члена получаются грубыми, для каждого выбранного признака можно подобрать соответствующие способы улучшения сходимости [7,8]. В частности, известное преобразование степенных рядов, предложенное Эйлером, является простым следствием способа улучшения сходимости рядов, соответствующего признаку Даламбера [7,10].

Статья посвящена обсуждению преобразования Куммера и его приложениям. Изложение основано на элементарной теории рядов, а также на некоторых фактах из теории специальных функций [4].

Об авторе

Е. И. Кандаурова
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Россия

Кандаурова Ирина Евгеньевна

старший преподаватель

SPIN – код: 1830-2607



Список литературы

1. Kummer E. Eine neue Methode, die numerische Summen langsam convergirender Reihen zu berechnen // J. fur die reine und angewandte Mathematik. 1837. Bd 16. H. 3. S. 206–218.

2. Апарина Л.В. Числовые и функциональные ряды: учеб. пособие. 2-е изд. СПб.: Лань, 2012. 155 с.

3. Власова Е.А. Ряды: учебник / Под ред. В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 611 с.

4. Введение в теоретико-числовые методы криптографии: учеб. пособие / М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.В. Пичкур, А.В. Черемушкин. СПб.; М.: Лань, 2011. 394 с.

5. Григорьев Е.А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. М.: Научный мир, 2004. 215 с.

6. Муратов Л.М. Об улучшении сходимости рядов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1978. № 4. С. 53–57.

7. Салехов Г.С. К теории вычисления рядов // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4(32). С. 50–82.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики: учебник. 21-е изд. Т. 2. М.: Наука, 1974. 655 с.

9. Сорокин Г.А. О некоторых преобразованиях рядов // Известия высших учебных заведений. Математика. 1984. № 11. С. 34–40.

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник. 8-е изд. Т. 2. М.: Физматлит, 2006. 863 с.


Для цитирования:


Кандаурова Е.И. Общая схема вычисления рядов с положительными членами. Машиностроение и компьютерные технологии. 2018;(4):32-44. https://doi.org/10.24108/0418.0001381

For citation:


Kandaurova I.E. The General Scheme for Calculating Series with Positive Terms. Mechanical Engineering and Computer Science. 2018;(4):32-44. (In Russ.) https://doi.org/10.24108/0418.0001381

Просмотров: 139


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2587-9278 (Online)